Paradojas verídicas
Son resultados que aparentan tal vez ser absurdos a pesar de ser demostrable su veracidad. A esta categoría pertenecen la mayor parte de las paradojas matemáticas.
• Paradoja del cumpleaños: ¿cuál es la probabilidad de que dos personas en una
reunión cumplan años el mismo día?
El problema del cumpleaños, también llamado paradoja del cumpleaños, establece que si hay 23 personas reunidas, hay una probabilidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 57 o más personas la probabilidad es mayor del 99%. En sentido estricto esto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en el sentido de que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Mucha gente piensa que la probabilidad es mucho más baja, y que hacen falta muchas más personas para que se alcance la probabilidad del 50%. Si una habitación tuviera 367 personas, lógicamente habría al menos dos personas cumpliendo años en la misma fecha teniendo en cuenta que un año tiene 365 días y uno bisiesto, 366.
• Paradoja de Galileo: a pesar de que no todos los números son números cuadrados,
no hay más números que números cuadrados.
• Paradoja del hotel infinito: un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar más
huéspedes, incluso si está lleno.
Antinomias
Son paradojas que alcanzan un resultado que se autocontradice, aplicando correctamente modos aceptados de razonamiento. Muestran fallos en un modo de razón, axioma o definición previamente aceptados. Por ejemplo, la Paradoja de Grelling-Nelson señala problemas genuinos en nuestro modo de entender las ideas de verdad y descripción. Muchos de ellos son casos específicos, o adaptaciones, de la Paradoja de Russell.
• Paradoja de Russell: ¿Existe un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos?
Supongamos un conjunto que consta de elementos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito es el que supone un conjunto que consta de "ideas abstractas". Dicho conjunto es miembro de sí mismo porque el propio conjunto es una idea abstracta. Otro ejemplo sería una bolsa con bolsas dentro. Por otro lado un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto en sí no es un libro. Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están incluidos en sí mismos, como el de "libros" en el ejemplo anterior) forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.
• Paradoja de Curry: "Si no me equivoco, el mundo se acabará en diez días"
• Paradoja del mentiroso: "Esta oración es falsa"
• Paradoja de Grelling-Nelson: ¿Es la palabra "heterológico", que significa "que no
describe a sí mismo", heterológica?
Antinomias de definición
Estas paradojas se basan en definiciones ambiguas, sin las cuales no alcanzan una
contradicción.
• Paradoja sorites: ¿En qué momento un montón deja de serlo cuando se quitan
granos de arena?
Más específicamente, la paradoja se produce porque mientras el sentido común sugiere que los montones de arena tienen las siguientes propiedades, estas propiedades son inconsistentes:
Dos o tres granos de arena no son un montón.
Un millón de granos de arena juntos sí son un montón.
Si n granos de arena no forman un montón, tampoco lo serán (n+1) granos.
Si n granos de arena son un montón, también lo serán (n−1) granos.
Si se aplica la inducción matemática, se comprueba que la tercera propiedad junto con la primera implican que un millón de granos de arena no forman un montón, contradiciendo la segunda propiedad. De modo análogo, combinando la segunda y la cuarta propiedad se demuestra que dos o tres granos sí son un montón, contradiciendo la primera propiedad.
La contradicción se descubre examinando las propiedades anteriores. Las dos últimas expresan claramente la idea de que no hay una separación clara entre lo que es un montón y lo que no es un montón. Sin embargo, las cuatro juntas implican que un conjunto de granos de arena puede clasificarse sin ningún problema como "montón" o "no montón".
• Paradoja de Teseo: Cuando se han reemplazado todas las partes de un barco, ¿sigue
siendo el mismo barco?
Paradojas condicionales
Sólo son paradójicas si se hacen ciertas suposiciones. Algunas de ellas muestran que esas
suposiciones son falsas o incompletas.
• Paradoja del viaje en el tiempo: ¿Qué pasaría si viajas en el tiempo y matas a tu
abuelo antes de que conozca a tu abuela?
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