Definición y clasificación

Una paradoja, del latín paradoxus (que, a su vez, tiene su origen en la lengua griega), es una figura retórica que consiste en la utilización de expresiones que envuelven una contradicción. Esto quiere decir que, más allá de las condiciones contradictorias, los factores presentados resultan válidos, reales o verosímiles.

Por ejemplo: “Es una persona tan pobre que lo único que tiene es mucho dinero”, “La bondad de sus actos sólo terminó generando un gran mal”, “Para llegar rápido, nada mejor que ir despacio”.

Es importante establecer que existen muchos tipos de paradojas. Así, en concreto, se determinan dos grandes grupos para poder llevar a cabo la clasificación de las mismas. De esta manera, por un lado están las paradojas en función de su veracidad y por otro las que se ordenan en base al área de conocimiento en el que se utilizan o desarrollan.

Según su veracidad y contenido

En el primer grupo se pueden encontrar paradojas que sólo parecen serlo (lo que afirman es realmente cierto o falso), otras se contradicen, por lo que se consideran verdaderas paradojas, mientras que otras dependen de su interpretación para ser o no paradójicas.

Paradojas verídicas 
Son resultados que aparentan tal vez ser absurdos a pesar de ser demostrable su veracidad. A esta categoría pertenecen la mayor parte de las paradojas matemáticas.

• Paradoja del cumpleaños: ¿cuál es la probabilidad de que dos personas en una
reunión cumplan años el mismo día?

El problema del cumpleaños, también llamado paradoja del cumpleaños, establece que si hay 23 personas reunidas, hay una probabilidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 57 o más personas la probabilidad es mayor del 99%. En sentido estricto esto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en el sentido de que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Mucha gente piensa que la probabilidad es mucho más baja, y que hacen falta muchas más personas para que se alcance la probabilidad del 50%. Si una habitación tuviera 367 personas, lógicamente habría al menos dos personas cumpliendo años en la misma fecha teniendo en cuenta que un año tiene 365 días y uno bisiesto, 366.

• Paradoja de Galileo: a pesar de que no todos los números son números cuadrados,
no hay más números que números cuadrados.
• Paradoja del hotel infinito: un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar más
huéspedes, incluso si está lleno.

Antinomias 
Son paradojas que alcanzan un resultado que se autocontradice, aplicando correctamente modos aceptados de razonamiento. Muestran fallos en un modo de razón, axioma o definición previamente aceptados. Por ejemplo, la Paradoja de Grelling-Nelson señala problemas genuinos en nuestro modo de entender las ideas de verdad y descripción. Muchos de ellos son casos específicos, o adaptaciones, de la Paradoja de Russell.

• Paradoja de Russell: ¿Existe un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos?
Supongamos un conjunto que consta de elementos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito es el que supone un conjunto que consta de "ideas abstractas". Dicho conjunto es miembro de sí mismo porque el propio conjunto es una idea abstracta. Otro ejemplo sería una bolsa con bolsas dentro. Por otro lado un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto en sí no es un libro. Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están incluidos en sí mismos, como el de "libros" en el ejemplo anterior) forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.

• Paradoja de Curry: "Si no me equivoco, el mundo se acabará en diez días"
• Paradoja del mentiroso: "Esta oración es falsa"
• Paradoja de Grelling-Nelson: ¿Es la palabra "heterológico", que significa "que no
describe a sí mismo", heterológica?

Antinomias de definición 
Estas paradojas se basan en definiciones ambiguas, sin las cuales no alcanzan una
contradicción.
• Paradoja sorites: ¿En qué momento un montón deja de serlo cuando se quitan
granos de arena?
Más específicamente, la paradoja se produce porque mientras el sentido común sugiere que los montones de arena tienen las siguientes propiedades, estas propiedades son inconsistentes:
Dos o tres granos de arena no son un montón.
Un millón de granos de arena juntos sí son un montón.
Si n granos de arena no forman un montón, tampoco lo serán (n+1) granos.
Si n granos de arena son un montón, también lo serán (n−1) granos.

Si se aplica la inducción matemática, se comprueba que la tercera propiedad junto con la primera implican que un millón de granos de arena no forman un montón, contradiciendo la segunda propiedad. De modo análogo, combinando la segunda y la cuarta propiedad se demuestra que dos o tres granos sí son un montón, contradiciendo la primera propiedad.

La contradicción se descubre examinando las propiedades anteriores. Las dos últimas expresan claramente la idea de que no hay una separación clara entre lo que es un montón y lo que no es un montón. Sin embargo, las cuatro juntas implican que un conjunto de granos de arena puede clasificarse sin ningún problema como "montón" o "no montón".

• Paradoja de Teseo: Cuando se han reemplazado todas las partes de un barco, ¿sigue
siendo el mismo barco?

Paradojas condicionales
Sólo son paradójicas si se hacen ciertas suposiciones. Algunas de ellas muestran que esas
suposiciones son falsas o incompletas.
• Paradoja del viaje en el tiempo: ¿Qué pasaría si viajas en el tiempo y matas a tu
abuelo antes de que conozca a tu abuela?

Según su campo: Matemáticas

Dentro de este campo, podemos hablar de demostraciones inválidas:

En matemáticas, hay múltiples demostraciones matemáticas de contradicciones obvias. A pesar de que las demostraciones son erróneas, los errores son sutiles, y la mayor parte de las veces, intencionados. Estas falacias se consideran normalmente meras curiosidades, pero pueden ser usadas para ilustrar la importancia del rigor en esta Área.

DEMOSTRACIÓN DE 2 = 1

Sean a y b dos cantidades iguales. Se sigue que:
a = b
a2 = ab
a2 – b2 = ab – b2
(a - b)(a + b) = b(a - b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = 1

https://www.youtube.com/watch?v=AeQC0mdpdS4

Solución:

La falacia se encuentra en la línea 5: el paso de la línea 4 a la 5 implica una división por a - b, que es cero ya que a equivale a b (por la suposición). Como la división por cero no está definida, la demostración no es válida.

Paradoja de Banach-Tarski: es posible fabricar un rompecabezas tridimensional de un total de ocho piezas, las cuales, combinadas de una determinada manera, formarían una esfera completa y rellena (sin agujeros) y, combinadas de otra manera, formarían dos esferas rellenas (sin agujeros) del mismo radio que la primera.

Según su campo: Economía

La paradoja del valor (o paradoja del diamante y el agua) es una paradoja dentro de la economía clásica sobre el valor económico que expresa que, aunque el agua es más útil que los diamantes, estos tienen un precio más alto en el mercado. Adam Smith menciona la paradoja en La riqueza de las naciones. Smith no fue el primero en notar la paradoja. Nicolás Copérnico, John Locke, John Law y otros habían intentado explicar la disparidad en el valor entre el agua y los diamantes. La teoría de la utilidad marginal, un esfuerzo por resolver esta paradoja, provocó el nacimiento de la economía neoclásica y defiende que no es la demanda de un bien lo que determina su precio, sino su utilidad marginal.

Smith menciona de este modo la paradoja:

Nada es más útil que el agua; pero ésta no comprará nada; nada de valor puede ser intercambiado por ella. Un diamante, por el contrario, tiene escaso valor de uso; pero una gran cantidad de otros bienes pueden ser frecuentemente intercambiados por este.

Según su campo: Física

En la formulación más habitual de la paradoja, debida a Paul Langevin, se toma como protagonistas a dos gemelos (de ahí el nombre); el primero de ellos hace un largo viaje a una estrella en una nave espacial a velocidades cercanas a la velocidad de la luz; el otro gemelo se queda en la Tierra. A la vuelta, el gemelo viajero es más joven que el gemelo terrestre.

De acuerdo con la teoría especial de la relatividad, y según su predicción de la dilatación del tiempo, el gemelo que se queda en la Tierra envejecerá más que el gemelo que viaja por el espacio a gran velocidad (más adelante se prueba esto mediante cálculo) porque el tiempo propio del gemelo de la nave espacial va más lento que el tiempo del que permanece en la Tierra y, por tanto, el de la Tierra envejece más rápido que su hermano.

Pero la paradoja surge cuando se hace la siguiente observación: visto desde la perspectiva del gemelo que va dentro de la nave, el que se está alejando, en realidad, es el gemelo en la Tierra y, por tanto, cabría esperar que, de acuerdo con los cálculos de este gemelo, su hermano en la Tierra fuese quien tendría que envejecer menos por moverse respecto de él a velocidades cercanas a la de la luz. Esto es, el gemelo de la nave es quien tendría que envejecer más rápido.

La paradoja quedaría dilucidada si se pudiese precisar quién envejece más rápido realmente y qué hay de erróneo en la suposición de que, de acuerdo con los cálculos del gemelo de la nave, es el gemelo terrestre quien envejece menos.

A Einstein le costó aclarar esta paradoja unos cuantos años, hasta que formuló la relatividad general y demostró que, ciertamente, es el gemelo de la Tierra quien envejece más rápido.

Sin embargo, aunque Einstein resolvió la paradoja en el contexto de la relatividad general, la paradoja puede resolverse dentro de los límites de la teoría de la relatividad especial.

Para dilucidar la aparente paradoja es necesario realizar los cálculos desde el punto de vista del gemelo que permanece en la Tierra y desde el punto de vista del gemelo viajero, y ver que las estimaciones de tiempo transcurrido coinciden examinadas desde ambos puntos de vista.

El cálculo desde el punto de vista del gemelo terrestre es rutinario y muy sencillo. El cálculo desde el punto de vista del gemelo viajero es más complejo porque requiere realizar cálculos en un sistema no inercial. Al final, se prueba que los resultados coinciden, demostrando que la aparente paradoja no es tal.

Aquí están los cálculos; http://eltamiz.com/2007/06/13/relatividad-sin-formulas-paradoja-de-los-gemelos/

Paradoja de Olbers: ¿Por qué, si hay infinitas estrellas, el cielo es negro? 

 Paradoja de Fermi: Si el Universo estuviera poblado por civilizaciones avanzadas 

tecnológicamente, ¿dónde están? 

Paradoja de Schrödinger. 

Según su campo: Geométricas

Dado el mapa de Königsberg, con el río Pregolya dividiendo el plano en cuatro regiones distintas, que están unidas a través de los siete puentes, ¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estas regiones, pasando por todos los puentes, recorriendo sólo una vez cada uno, y regresando al mismo punto de partida?

Euler determinó, en el contexto del problema, que los puntos intermedios de un recorrido posible necesariamente han de estar conectados a un número par de líneas. En efecto, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por una línea diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir ningún punto conectado con un número impar de líneas.

En particular, como en este diagrama los cuatro puntos poseen un número impar de líneas incidentes (tres de ellos inciden en tres líneas, y el restante incide en cinco), entonces se concluye que es imposible definir un camino con las características buscadas.

  O la paradoja del cuadrado perdido:

La paradoja tiene una explicación simple: la figura presentada como un triángulo no lo es en realidad, debido a que tiene cuatro lados, y no los tres propios del triángulo. La "hipotenusa" no está formada por una recta, sino por dos con pendientes ligeramente distintas.

Según su campo: Infinito

El concepto matemático de infinito, al ser contrario a la intuición, ha generado muchas
paradojas desde que fue formulado.
• Paradoja de Galileo: a pesar de que no todos los números son números cuadrados,
no hay más números que números cuadrados.
• Paradoja del hotel infinito: un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar más
huéspedes, incluso si está lleno.
• Conjunto de Cantor: cómo quitar elementos de un conjunto y que siga teniendo el
mismo tamaño.
• Paradojas de Zenón: unas paradojas falsas que tratan de utilizar el infinito para
demostrar que el movimiento no puede existir.

Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr los 100 m. en 10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez veces menos rápida que él. Ambos disputan una carrera, concediendo Aquiles una ventaja de 100 m. a la tortuga. Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m., la tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m., la tortuga se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0'1 m. Y así indefinidamente.

Así, Aquiles debe cubrir infinitos trayectos para alcanzar a la tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia infinita, para lo cual necesitará un tiempo infinito. De tal manera que el desgraciado Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

  

¿En dónde se equivoca Zenón? En realidad no podemos decir que se equivoque, pero lo que está claro es que su argumento no demuestra nada: una suma de infinitos términos puede dar un resultado finito. Pero esto no se puso sobre el papel hasta que Leibniz inventó el cálculo infinitesimal.

Así que si Aquiles recorre 1 estadio en un minuto y la tortuga 1/10 de estadio en el mismo tiempo, Aquiles recorrerá 1+ 1/10 +1/100+ 1/1000 …etc: 1+1/10+1/100+1/1000+...= ¿cuánto? Desde luego esta suma no da una distancia infinita que requiere infinito tiempo recorrer, sino una distancia concreta: 1,111111111… estadios.

Según su campo: Lógica

A pesar de que todas las paradojas se consideran relacionadas con la lógica, hay algunas que afectan directamente a sus bases y postulados tradicionales. 

Las paradojas más importantes relacionadas directamente con el área de la lógica son las antinomias, como la paradoja de Russell, que muestran la inconsistencia de las matemáticas tradicionales. A pesar de ello, existen paradojas que no se contradicen y que han ayudado a avanzar en conceptos como demostración y verdad. 

• Paradoja del actual rey de Francia: ¿es cierta una afirmación sobre algo que no existe? 

• Paradoja de Carl Hempel: El principio de inducción nos dice que...

Si se observa un caso particular X consistente con la teoría T, entonces la probabilidad de que T sea cierta aumenta.

Hempel da un ejemplo del principio de inducción. Propone como teoría "Todos los cuervos son negros". Si ahora examinamos a un millón de cuervos, y observamos que todos son negros, nuestra creencia en la teoría "todos los cuervos son negros" crecerá ligeramente con cada observación. En este caso, el principio de inducción parece razonable.

Ahora bien, la afirmación "todos los cuervos son negros" es equivalente en lógica a la afirmación "todas las cosas no-negras son no-cuervos". Por lo tanto, observar una manzana roja proporciona evidencia empírica para sostener esta segunda afirmación. Una manzana roja es una cosa no-negra, y cuando la examinamos, vemos que es un no-cuervo. Así que, por el principio de inducción, el observar una manzana roja debería incrementar nuestra confianza en la creencia de que todos los cuervos son negros.

Según su campo: Probabilidad y estadística

Paradoja de Monty hall:
Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:

Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.

 Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrás de cada puerta.

 Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.

La pregunta oportuna es: ¿debe hacerlo o no?

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

Hay más, como el fenómeno Will Rogers sobre el concepto matemático de la media: trata sobre la media o mediana de dos conjuntos cuando uno de sus valores es intercambiado entre ellos, dando lugar a un resultado aparentemente paradójico - Por ejemplo: Si se fuera alguien rico de alguna región rica a una región pobre, que aumentara la riqueza media en ambas regiones. 

Paradojas visuales de Escher

Cabe destacar en el campo de las paradojas las visuales, y dentro de éstas, las de Escher. Mauritis Cornelius Escher nació Leeuwarden, Holanda, en el año 1898. Estudio en la Escuela de Arquitectura y Diseño Ornamental de Haarlem. Durante el año 1924 se trasladó a Roma donde permaneció hasta 1934. Más tarde viajará por Suiza y Bélgica hasta que en el año 1941 se instaló definitivamente en Baarn, Holanda, donde moriría en el año 1972. Quizá, su exposición más importante se organizó en el 1954 a la Whyte Gallery de Washington. Actualmente, una colección importante de sus obres pertenece al ingeniero Cornelius van Schaak Roosevelt, nieto del presidente Theodore Roosevelt.

A Escher siempre le obsesionó el conflicto entre la realidad y la forma de plasmarla en el plano. Jugó con la representación en tres dimensiones para generar obras que saltaban por encima de las normas, produciendo efectos tan imposibles como llamativos o llevando al límite las posibilidades que le permitía dicha representación. Algunas de sus obras son:

"Depth" (1955) Escher divide el espacio en cubos de forma que cada pez es la intersección de tres filas de peces, filas que se cortan en ángulo recto en tres ejes diferentes. "Three worlds" (1955). Escher llamó a esta obra "Tres mundos" porque en la imagen logra hacer coincidir la superficie del agua (con las hojas), la profundidad del agua (con el pez) y el exterior (con el reflejo de los árboles

"Print gallery" (1956). En esta obra Escher utiliza una serie de ampliaciones progresivas de forma que el visitante que aparece a la izquierda de la obra está ampliado cuatro veces en relación a los cuadros y a la persona que aparecen abajo a la derecha. Pero el cuadro que aparece arriba a la izquierda está a su vez ampliado cuatro veces en relación al visitante (que sufre en el tamaño de su cabeza la transición hacia esa ampliación...). Y así sucesivamente de forma que la cornisa que aparece bajo la mujer asomada a la ventana estaría ampliada 256 veces en relación a las columnas que (en lo que da grandeza a esta obra) además la sustentan.

"Belvedere" (1958): esta es sin duda una de las obras más clásicas de Escher. En el aparecen dos elementos dignos de mención: por un lado, aparece un plano con el dibujo de un cubo cuyas aristas "críticas" (¿están en primer o en segundo plano?) aparecen marcadas. El hombre sentado en el banco muestra un ejemplo de un cubo imposible (cuyas aristas están "a la vez delante y detrás"). Y como dice Escher, el hombre "contempla reflexivo el objeto imposible sin darse cuenta de que el belvedere a sus espaldas es un ejemplo más de tal objeto imposible". Ciertamente si uno observa las columnas se da cuenta que sufren el mismo problema que las aristas del cubo (y si no, ¿como podría la escalera apoyarse en el interior para acceder a la fachada?)

"Waterfall" (1961): es uno de sus dibujos más conocido, si no el que más. Según Escher es una múltiple aplicación del triángulo imposible de Penrose. Efectivamente si uno observa la parte superior de la cascada, los dos primeros tramos del recorrido del agua en zig-zag forman con las columnas que separan los dos "niveles" un triángulo imposible. Más claro: el agua sufre una considerable caída a causa de la cascada pero, entre el inicio y el final de esta, hace un recorrido que las leyes de la perspectiva nos muestran como claramente horizontal, lo cuál por supuesto es incompatible con la caída antes mencionada.

"Día y noche" (1939). Se convirtió en seguida en una de las obras más populares de Escher. En ella se producen progresivas transformaciones tanto en horizontal (durante la cuál el día se transforma en una noche que además es su espejo) como en vertical, en la que los terrenos de la superficie se transforman en aves que surcan (y llenan) el cielo.

"Mano con esfera reflectante" (1935). Esta obra, de aspecto algo inquietante, en la que el pintor se retrata así mismo, es además un ejemplo de como en una pequeña porción de esfera se refleja gran cantidad del espacio que la rodea. "Esfera con ángeles y diablos" (1942). Forma parte de un proyecto para recubrir la esfera. Los motivos fueron diseñados por Escher por encargo de un amigo si bien la esfera fue tallada por Japón a partir de los bocetos del artista. Las particiones para recubrir la esfera requieren modificaciones respecto a las que teselan el plano.

"Manos dibujando" (1948) Este es uno de los trabajos con el que Escher quería mostrar los engaños del dibujo ya que, en este trabajo, cada mano pinta la otra, estando ambas además en un papel clavado con chinchetas que a su vez forma parte de la superficie plana que contiene el conjunto de la obra.

"Trayectoria vital I" (1958). En este tipo de figura, Escher no sólo realiza un recubrimiento del espacio sino que, mediante la combinación de círculos y espirales, se crea una secuencia de imágenes que se van reproduciendo, cada vez con menor tamaño, hacia el centro de la figura.